独立思考是突破颜值文化的唯一出路
古哥古点 2015年11月30日
生命是个结（上）
《飘散的烟圈：最原始的弦论》
今天的节目，我们用一个数列填空游戏开场。请根据下面数列中的前几项找出规律，猜测后面的数字应该是多少。
这个数列是：0,0,1,1,2,3,7,21,49,...（如果各位有兴趣的话，可以在这里暂停，想出后面的数字后再继续往下看。）这是一个什么数列？下面的数字应该是几？我们先把这些疑问放到这里，后面再为大家揭晓答案。现在呢，我们把时间调回到1867年的苏格兰。
此时，在古老的格拉斯哥大学的一间教室中，一个人正在来回的踱步，动作沉寂而舒缓，只有些许的脚步声响回荡在宽大的房间中。他的表情无比专注因为他正在思考一个深刻的问题。这个看起来一脸傲气的中年人叫做威廉·汤姆森（WilliamThomson），不到一年之前他刚刚因为在铺设跨越大西洋的电缆线工程中做出的杰出贡献而被英国女王维多利亚加封为骑士，所以他此刻正式的抬头称谓应该是‘Sir’。然而这个头衔并不是他一生中最后的位阶，25年后‘Sir’将会被更尊贵的‘Lord’所替换，因为在1892年英国议会将其晋封为勋爵（Baron），而这一爵位意味着他将成为英国历史上第一个拥有上议院席位的贵族科学家。这个人是一个强烈的大英国民族主义者，他曾经拒绝世界众多顶尖高校的邀约，而情愿一直留在格拉斯哥大学长达50多年。格大实验室的外面有一条蜿蜒的小河叫做开尔文河，素有情怀的英国政府贴心的用这条陪伴了这个人大半生的河流为其勋爵之位冠名，从此这个人有了一个大家熟知的称呼：开尔文勋爵，而他的本名反倒没有什么人提起了。
William Thomson, Lord Kelvin
此刻教室里还是刚刚成为Sir的汤姆森，头脑正在飞速转动，他想的根本不是自己在大西洋上布置电缆的那些传奇经历和即将到来的惊天财富，他的思绪正被一封来信所搅动。这封信的作者叫做彼得·泰特（PeterGuthrie Tait），是一位苏格兰的数学物理学家。在信中，泰特讲述了自己设计的一个简单实验。 他把一个巨大的封闭的木箱横向放倒，在后面的箱底上凿出了一个圆形的洞，接着把前面的箱子盖去掉，替代以一张方形毛巾。毛巾用力张紧后覆盖在箱子盖处，像一个绷紧的膜。整个装置看起来如同一只横放的大鼓，只不过底部有个大洞。泰特向箱子内部灌满氨气，并且在里面放上了盛有普通的盐和硫酸的碟子。这些物品经过反应将会产生大量的盐氨，形成微小可见的颗粒悬浮在氨气中。接下来，泰特真的打起了鼓。他用力的猛敲前面张紧的毛巾，箱子内部的气体受到压缩，经过复杂的推挤流动后从后面的圆洞中溢了出来。气体涡流以圆洞为边界，形成了一个漂亮的环，并且通过微小的盐氨颗粒的聚集变得肉眼可见。所以实验者在这个过程中可以看到一个大号的烟圈结构漂浮在空中，慢慢的向前飞行直到逐渐消散。
泰特为什么要做这个实验，因为在7年前他曾经读过赫黙霍兹（Helmholtz）的一篇论文，里面提到一个结论，对于不可压缩的理想流体而言，涡旋形成的环流将会非常稳定，理论上可以永远的存在下去。氨气和空气虽不是不可压缩的理想流体，但泰特仍想通过一个实验大略的对赫默霍兹的涡流平稳性预言进行可视化验证。实际上，他在实验中还有更多的发现。当他把底部开口的形状改为方形或者椭圆形的时候，飘散出来烟圈也随之变为方形或椭圆，但很快就会在空中自动修正为圆形，仿佛那是一种稳定的状态；另外，他发现越是用更大的力道敲击毛巾，烟圈的环线就会出现越剧烈的震荡，边界线将会来回的折叠、扭转、交叉，形成一个个绳结一样的复杂形态。正是这些烟圈绳结带给了汤姆森灵感。
当时的物理学界正在为构成世界的基本单元是什么而争执不下。原子理论的早期版本已经提出，但缺乏明显的证据，反而留下了许多的可疑之处。种类众多而性质差异巨大的化学元素究竟该如何用原子来解释？原子们是怎么通过振动而辐射出可见光波的？所有这些物理现象要想通过那些微小的、不可见的、硬邦邦的小球进行统一的描述确实非常困难，至少汤姆森并不相信原子的存在，他所承认的只有以太。以太是弥漫在空间中的无处不在的流体，无色无味，无影无形，这是当时主流物理学家对这种未知物质的想定。和大多数人一样，汤姆森因为以太可以合理解释光的波动而相信其客观实在，但是这些看不到的流体和物质的基本组成元素之间又具有什么关系呢！这就是踱步中的汤姆森所思考的问题。
水中实验呈现的的涡线三叶结
泰特的实验为他带来了答案，那就是结（Knot）。按照赫默霍兹的理论，以太是流体，其在微小尺度的流动会形成稳定的漩涡。而根据泰特实验，这些漩涡环可以具有形态多变但统一的拓扑结构，就像一个个扭曲交叠的结。本质相同但构型复杂的结恰好可以用来对应数量众多但性质各异的化学元素，越靠前的元素就是结构越简单的结，越靠后的元素就是结构越复杂的结，而分子和化学反应则是结的再结合。如此一来，许多复杂的物理现象似乎都可以用结理论给出统一而简洁的解释。比如，元素钠的谱线是两条独立的线，这就可以解释为构成纳元素的结是两个互相套连的环。汤姆森对自己的新理论非常满意，他甚至希望把元素周期表重新改写为数学上的结的分类表，第一位的氢元素不用想一定就是那个最简单的没有任何交叉的所谓平凡结，也就是一个光滑的环。
元素是漩涡环线打的结， Clark Maxwell）的支持。，他支持这一构想的原因很简单，就是结的描述惊人的吻合于他最熟悉的电磁场图景。学过电磁波传播规律的人都知道，电场和磁场如同对偶的双胞胎，交替激发向外延伸，横向电场产生纵向磁场，纵向磁场再生出横向电场，如此反复，生生不息。，但是当他得知泰特和汤姆森的构想，构成宇宙的基本元素就是以太漩涡的结时，他突然灵光乍现。电场和磁场的交替从几何上来看不就是一组互相套连的环吗，这岂不刚好吻合于结理论的底层机理吗？，表达他对这一发现的赞叹。
James Clark Maxwell
它的奇异令人震惊；
超越想象的潜能；
没有任何的相连；
却能莫名的锁定。
It's monstrous, horrid, shocking
Beyond the power of thinking
Not to know, interlocking
Is no mere form of linking.
随着后来迈克尔逊-莫雷干涉实验的结果将以太概念逐渐的淘汰，元素的涡流结假说也成了空中楼阁而被抛弃。但令人意想不到的是，在这个过程中，人们对于绳结的几何和拓扑研究却取得了极大的进展，形成了数学上一个崭新的分支，这就是结理论（KnotTheory）。可以说，结理论完全是作为一种副产品应运而生的。
在这里，我们首先要介绍一下，什么才是数学概念上的结。取一条绳子，在上面打一个普通的结，然后用尽全力拽紧，这就是我们日常生活中所说的死结。顾名思义，死结就是很难打开的意思，这么难以被解开的形态算是一个数学上的结吗？不，它根本不是结。那我再在死结上多打几道结扣，用力拽紧，这总该是结了吧？仍然不是！因为它可以完全的被还原。死结的牢固受益于绳子表面的摩擦力，甚至还有部分静电引力。假如打结使用的是一条有质量且绝对光滑的丝线，那么无论你多么用力拉扯绳结，只要完事后你把整根线拎起来，那个死疙瘩就会像自由落体一样，逐渐向下滑动直到丝线的最末端完全展开，就是这么轻松。这个过程很像蛇解结的样子。饲养过蛇的人都知道，蛇经常会自己打死结，但它破解的方式异常简单，就是不管不顾的把头径直向前移动，整个身体就会沿着死结的几何形态从前到后滑动一遍直到最后的尾巴自然的松脱。所以，普通的死结不管怎么打，打多少次，都还是等价为一条直线。那怎样才算是数学上的结呢？很简单，把打过结扣的绳子的两头粘起来，形成一个封闭结构，这就出现了结。只有封闭的环才能形成数学上的结。
对结的研究要解决的第一个关键问题是分类问题，就是要搞清楚世界上到底有多少种类的结，并把它们排成阵列，就像元素周期表一样。事实上，泰特对结的分类研究原本的初心就是为了取代元素周期表。结的分类是一个困难的问题，线是可以任意弯曲的，绳结是可以随意变形的。两个看起来完全不同的结，有可能经过若干步的操作后变换出一模一样的形态，假如这种情况发生，那只能认为操作前的那两个貌似不同的结其实是同一种结。比如说，一个光滑的橡皮圈，把它稍微反向拧动变成一个数字8的形状，然后再拧动一次，变成一个有三个洞的超级8的形状。很容易理解，圆环、8字形和超级8其实是同一种结，它们只不过是经过了不同次数的扭动操作才会显得外形不一致而已。需要说明的是，以上说的操作包括任意的拉扯、弯曲、折叠线条，但不包括剪断和粘贴线条，也就是不能破坏线条最初的连通性。
归类问题的困难就在于正确的识别出那些看起来不相同的结是不是同一个结的变形，这是不容易做到的，尤其是在结变得越来越复杂的时候。截至2003年7月，人类已经确定出了6,217,553,258种不同类型的结，大约世界上的每个人平均能分到一个结。这么多的结带来了一个新的问题。化学周期表的元素是依靠质子数作为索引进行排序，那么结用什么作为索引编号呢？最常用的序号就是交叉（Cross）数。把一个结压平摊放在一个平面上，相当于做一次平面投影。投影中凡是出现线条交点的地方就是一个交叉。以刚才的例子来说，橡皮圈的交叉点是0个，8字形的交叉点有一个，超级8的交叉点有两个。但是前面已经说了这三种形状实际是同一个结，那怎么能同时对应三个编号呢？为了避免这个问题，人们规定一个结经过操作之后得到的所有可能的变形中，那个具有最小交叉数的形态所对应的交叉个数才是这个结的真正序号。8字型、超级8，它们的交叉个数都不是最小状态，其真正的编号应该和橡皮圈一样都是0。
有了最小交叉数作为序号，我们可以把已经确定出来的众多的绳结种类按序号进行划分。其中，交叉点是1和2的绳结不存在，交叉点是3和4的绳结都只有一类，交叉点是5的绳结有2类，交叉点是6的绳结有3类。注意到了吗？0,0,1,1,2,3，...,交叉点个数从小到大所对应的绳结种类数目组成了一个数列，它叫做绳结数列。现在我们可以回过头来解释一下本期节目最开始提出的那个问题了。还记得你经过思考得出的答案吗？49后面应该填哪个数字呢？正确的回答应该是165。如果你是拼命地想从前面几项数值的运算找出规律的话，大概只能白费功夫，因为这个数列就是绳结数列，其再往后的各项依次是552,2176,9988,46972,253293,1388705,...。其实，我们也没有多少项能在大家面前显摆，因为交叉数每增加1，计算量将呈现天文级别的增长。当交叉点数目还不到30时，计算总量已经激增到实际上无法进行的程度。人们对于这个神秘数列知道的仍然很少，不要说找到数列的公式，甚至连它是否为一个递增数列都无法证明。
结的周期表
为了开展研究，结理论要解决的第二个难题叫不变量问题，它实际上也来自于分类。一种结经过不同的变形后，有可能产生出各种各样的形态。但它们既然本质上是同一种结，这意味着这些变形的结身上一定有某种特征是不会改变的，数学上将其称为不变量。不变量可以把本质相同而形态迥异的结联系在一起。不变量的例子非常多，比如大家熟悉的人脸识别就是寻找人的面部图像上隐藏的某种不变特征。
一个最理想的结的不变量应该同时满足两个要求：第一，同一种结的各种变化形式计算出的不变量应该相同；第二，不同种类结的各种变化形式所计算出的不变量应该都不一样。这样的不变量被称为完美不变量。如果它存在的话，那分类工作就会轻松很多。随便给出一个结，计算它的完美不变量，如果和已有的某个结的不变量一样，它就是该结的变形；如果和任何已知结的不变量都不一样，则它是一个全新种类的结。但很可惜的是，人们经过多次尝试发现完美不变量根本找不到，所能找到的只是仅仅满足第一点要求的不变量，它可以保证两个结本质相同时其不变量是一样的，但不能保证两个结算出的不变量一样时，它们一定是相同的结。
一般人想不到的是，这种不变量不是一个数值或者一组数字，而是一个奇特的多项式。一个绳结怎么对应于一个多项式呢？我们可以简单的并不太准确的来说明这个道理。现在拿出一根丝线来，称其为主干。如果在主干上打一个结就将其标记为t，很明显，只要你愿意你可以打出n个t，n可以是任何你喜欢的数字。接下来，做一点改变，把某个t对应的结放松，在松弛的结的环线上打一个结，相当于结上结，这种嵌套可以标记为t²。以此类推，你还可以在t²的结环上再去嵌套新的结构成t³等等。最后，把主干的两端连接在一起，完成数学概念上的结的建构。这样，用一条丝线打的这些结就表述为一个多项式的形式。需要说明的是，这里所讲的这种定义只是方便大家去想象和感受结的图形与多项式是怎么联系起来的，它根本就不是一个不变量。比如说，随意给出一个复杂的绳结，如果你硬要用这个定义来写多项式，就会发现当你选择不同的丝线段作为主干时，绳结的嵌套结构将会天差地别，而且更多的时候，结的嵌套结构太复杂压根就无法展开成对应的幂次。
James Waddell Alexander II
真正的多项式不变量的定义要复杂的多，推进这一问题取得重大进展的人叫做詹姆斯·亚历山大（James WaddellAlexander II）。这个听起来似乎没有什么名气的人，其实是普林斯顿高等研究院开办时聘任的首批人员，他的同事包括爱因斯坦，冯·纽曼等等，这个侧面足以说明这个人的数学水平。亚历山大首次创造性的提出用多项式来描述结，他构建了一种有趣的点划标记法，以此来生成一个结的多项式。这种多项式具有上述不变量的第一点特性，即同种结的不同变形所计算出的多项式基本是一样的，最多相差±xⁿ这样一个固定的因子。在考虑了这个因子作为修正项后，这种多项式就成为一种不变量，被称为亚里沙大多项式。亚历山大多项式优秀到什么程度呢？它虽然不是完美不变量，但对于交叉序号9以下的全体绳结来说它是完美的，只是在超过或等于9的绳结中才会出现不完美的情形。考虑到绳结数列巨大的计算复杂性，这已经是非常了不起的成就。亚历山大多项式作为最出色的不变量，统治了结理论领域数十年，直到1984年加州大学的沃恩·琼斯（VaughnJones）才提出了更强的琼斯多项式。然而最令人烦恼的事实却是，尽管这些多项式在认识结的结构方面有着重大的理论价值，但它们对一个最基本也是最简答的问题却没有做出太多的贡献。这个问题就是到底该如何的解释和量化结的变形，至今该问题也没有直观而准确的数学解答。所以，哥伦比亚大学的乔恩·伯曼（JoanBirman）才会这样来自嘲：“计算这个多项式，有着太多的证据来说明它和结的类型有关，但却没有人理解它的几何含义，而偏偏又是它能检测出那么多的东西！”
的确，结就是这样，它的特征永远是一个套着一个，当你以为解开了一个困局时，却极有可能在同时陷入另一道谜题。结是作为物理的基本单元模型而被提出的，却因模型的错误而归于沉寂，只留下数学的结独自发展。然而，正当人们从此把结只当做一种智力游戏加以把玩时，另一个世界的基本单元中却再次浮现出结的身影。1943年，游移在量子学说的薛定谔问“生命是什么”，而70年前，。回答发生在提问之前，就是这个精彩的结把结的精彩指向了生命的世界。
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书名：《小提琴家的大拇指》
作者：山姆-基恩
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