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2017年版《普通高中课程标准》数学(中)

区域课改交流平台 2020-11-20 14:24:25

四、课程内容

(一)必修课程

必修课程包括五个主题,分别是预备知识、函数、几何与代数、概率与统计、数学建模活动与数学探究活动。数学文化融入课程内容。

必修课程共8学分144课时,表1给出了课时分配建议,教材编写、教学实施时可以根据实际作适当调整。

表1 必修课程课时分配建议表

主题

单元

建议课时

主题一

预备知识

集合

18

常用逻辑用语

相等关系与不等关系

从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式

主题二

函数

函数概念与性质

52

幂函数、指数函数、对数函数

三角函数

函数应用

主题三

几何与代数

平面向量及其应用

42

复数

立体几何初步

主题四

概率与统计

概率

6

统计

主题五

数学建模活动与数学探究活动

数学建模活动与数学探究活动

6

机动

6

 

主题一 预备知识

以义务教育阶段数学课程内容为载体,结合集合、常用逻辑用语、相等关系与不等关系、从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式等内容的学习,为高中数学课程做好学习心理、学习方式和知识技能等方面的准备,帮助学生完成初高中数学学习的过渡。

【内容要求】

内容包括:集合、常用逻辑用语、相等关系与不等关系、从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式。

1.集合

在高中数学课程中,集合是刻画一类事物的语言和工具。本单元的学习,可以帮助学生使用集合的语言简洁、准确地表述数学的研究对象,学会用数学的语言表达和交流,积累数学抽象的经验。

内容包括:集合的概念与表示、集合的基本关系、集合的基本运算。

(1)集合的概念与表示

通过实例,了解集合的含义,理解元素与集合的“属于”关系。

针对具体问题,能够在自然语言和图形语言的基础上,用符号语言刻画集合。

在具体情境中,了解全集与空集的含义。学+科网

(2)集合的基本关系

理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集。

(3)集合的基本运算

理解两个集合的并集与交集的含义,能求两个集合的并集与交集。

理解在给定集合中一个子集的补集的含义,能求给定子集的补集。

能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算,体会图形对理解抽象概念的作用。

2.常用逻辑用语

常用逻辑用语是数学语言的重要组成部分,是数学表达和交流的工具,是逻辑思维的基本语言。本单元的学习,可以帮助学生使用常用逻辑用语表达数学对象,进行数学推理,体会常用逻辑用语在表述数学内容和论证数学结论中的作用,提升交流的严谨性与准确性。

内容包括:必要条件、充分条件、充要条件,全称量词、存在量词、全称量词命题与存在量词命题的否定。

(1)必要条件、充分条件、充要条件

通过对典型数学命题的梳理,理解必要条件的意义,理解性质定理与必要条件的关系。

通过对典型数学命题的梳理,理解充分条件的意义,理解判定定理与充分条件的关系。

通过对典型数学命题的梳理,理解充要条件的意义,理解数学定义与充要条件的关系。

(2)全称量词与存在量词

通过已知的数学实例,理解全称量词与存在量词的意义。

(3)全称量词命题与存在量词命题的否定

能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定。

能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定。

3.相等关系与不等关系

相等关系、不等关系是数学中最基本的数量关系,是构建方程、不等式的基础。本单元的学习,可以帮助学生通过类比,理解等式和不等式的共性与差异,掌握基本不等式。

内容包括:等式与不等式的性质、基本不等式。

(1)等式与不等式的性质

梳理等式的性质,理解不等式的概念,掌握不等式的性质。

(2)基本不等式

理解基本不等式。结合具体实例,能用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题。

4.从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式

用函数理解方程和不等式是数学的基本思想方法。本单元的学习,可以帮助学生用一元二次函数认识一元二次方程和一元二次不等式。通过梳理初中数学的相关内容,理解函数、方程和不等式之间的联系,体会数学的整体性。

内容包括:从函数观点看一元二次方程、从函数观点看一元二次不等式。

(1)从函数观点看一元二次方程

会结合一元二次函数的图象,判断一元二次方程实根的存在性及根的个数,了解函数的零点与方程根的关系。

(2)从函数观点看一元二次不等式

经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程,了解一元二次不等式的现实意义;能够借助一元二次函数求解一元二次不等式;并能用集合表示一元二次不等式的解集。

借助一元二次函数的图象,了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系(参见案例1)。

【教学提示】

初中阶段数学知识相对具体,高中阶段数学知识相对抽象。教师应针对这一特征帮助学生完成从初中到高中数学学习的过渡,包括知识与技能、方法与习惯、能力与态度等方面。

在集合、常用逻辑用语的教学中,教师应创设合适的教学情境,以义务教育阶段学过的数学内容为载体,引导学生用集合语言和常用逻辑用语梳理、表达学过的相应数学内容。应引导学生理解属于关系是集合的基本关系,了解元素A与元素A组成的集合{A}的差异,即,A与{A}不相同。在梳理过程中,可以针对学生的实际布置不同的任务,采用自主学习与合作学习相结合的方式组织教学活动。

在相等关系与不等关系的教学中,应引导学生通过类比学过的等式与不等式的性质,进一参探索等式与不等式的共性与差异。

在从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式的教学中,可以先以讨论具体的一元二次函数变化情况为情境,引导学生发现一元二次函数与一元二次方程的关系,引出一元二次不等式概念;然后进一步引导学生探索一般的一元二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系,归纳总结出用一元二次函数解一元二次不等式的程序。

教学中,要根据内容的定位和教育价值,关注数学学科核心素养的培养。要让学生逐渐养成借助直观理解概念,进行逻辑推理的思维习惯,以及独立思考、合作交流的学习习惯,引导学生感悟高中阶段数学课程的特征,适应高中阶段的数学学习。

【学业要求】

能够在现实情境或数学情境中,概括出数学对象的一般特征,并用集合语言予以表达。初步学会用三种语言(自然语言、图形语言、符号语言)表达数学研究对象,并能进行转换。掌握集合的基本关系与基本运算。在数学表达中的作用。

能够从函数的观点认识方程和不等式,感悟函数学知识之间的关联,认识函数的重要性。掌握等式与不等式的性质。

重点提升数学抽象、逻辑推理和数学运算素养。

主题二 函数

函数是现代数学中最基本的概念,是描述客观世界中变量关系和规律的最为基本的数学语言和工具,在解决实际问题汇总发挥重要作用。函数是贯穿高中数学课程的主线。

【内容要求】

内容包括:函数概念与性质,幂函数、指数函数、对数函数,三角函数,函数应用。

1.函数概念与性质

本单元的学习,可以帮助学生建立完整的函数概念,不仅把函数理解为刻画变量之间依赖关系的数学语言和工具,也把函数理解为实数集合之间的对应关系;能用代数运算和函数图象揭示函数的主要性质;在现实问题中,能利用函数构建模型,解决问题。

内容包括:函数概念、函数性质、*[1]函数的形成与发展。

(1)函数概念

在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上,用集合语言和对应关系刻画函数,建立完整的函数概念(参见案例2),体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用。了解构成函数的要素,能求简单函数的定义域。

在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数,理解函数图象的作用。

通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用。

(2)函数性质

借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值,理解它们的作用和实际意义。

结合具体函数,了解奇偶性的概念和几何意义。

结合三角函数,了解周期性的概念和几何意义。

(3)*函数的形成与发展([1]标有*的内容为选学内容,不作为考试要求。)

收集函数概念的形成与发展的历史资料,撰写论文,论述函数发展的过程、重要结果、主要人物、关键事件及其对人类文明的贡献。

2.幂函数、指数函数、对数函数

幂函数、指数函数与对数函数是最基本的、应用最广泛的函数,是进一步研究数学的基础。本单元的学习,可以帮助学生学会用函数图象和代数运算的方法研究这些函数的性质;理解这些函数中所蕴含的运算规律;运用这些函数建立模型,解决简单的实际问题,体会这些函数在解决实际问题中的作用。

内容包括:幂函数、指数函数、对数函数。

(1)幂函数

通过具体实例,结合的图象,理解它们的变化规律,了解幂函数。

(2)指数函数

①通过对有理指数幂 、实数指数幂a>0,且,a≠1,xR)含义的认识,了解指数幂的拓展过程,掌握指数幂的运算性质。

通过具体实例,了解指数函数的实际意义,理解指数函数的概念。

能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的单调性与特殊点。

(3)对数函数

理解对数的概念和运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数。

通过具体实例,了解对数函数的概念。能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的单调性与特殊点。

知道对数函数与指数函数 互为反函数(a>0,且a≠1)。 

*收集、阅读对数概念的形成与发展的历史资料撰写小论文论述对数发明

的过程以及对数对简化运算的作用

3.三角函数

三角函数是一类最典型的周期函数。本单元的学习,可以帮助学生在用锐角三角函数刻画直角三角形中边角关系的基础上,借助单位圆建立一般三角函数的概念,体会引入弧度制的必要性;用几何直观和代数运算的方法研究三角函数的周期性、奇偶性(对称性)、单调性和最大(小)值等性质;探索和研究三角函数之间的一些恒等关系;利用三角函数构建数学模型,解决实际问题。

内容包括:角与弧度、三角函数概念和性质、同角三角函数的基本关系式、三角恒等变换、三角函数应用。

(1)角与弧度

了解任意角的概念和弧度制,能进行弧度与角度的互化,体会引入弧度制的必要性(参见案例3)。

(2)三角函数概念和性质

借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义,能画出这些三角函数的图象,了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值。借助单位圆的对称性,利用定义推导出诱导公式(α ±α ±π的正弦、余弦、正切)。

借助图象理解正弦函数在、余弦函数上、正切函数在 上的性质。

结合具体实例,了解的实际意义;能借助图象理解参数ωφA的意义,了解参数的变化对函数图象的影响。

(3)同角三角函数的基本关系式

理解同角三角函数的基本关系式

(4)三角恒等变换

经历推导两角差余弦公式的过程,知道两角差余弦公式的意义。

能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系。

能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式,这三组公式不要求记忆)。

(5)三角函数应用

会用三角函数解决简单的实际问题,体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型(参见案例4)。

4.函数应用

函数应用不仅体现在用函数解决数学问题,更重要的是用函数解决实际问题。本单元的学习,可以帮助学生掌握运用函数性质求方程近似解的基本方法(二分法);理解用函数构建数学模型的基本过程;运用模型思想发现和提出、分析和解决问题。

内容包括:二分法与求方程近似解、函数与数学模型。

(1)二分法与求方程近似解

结合学过的函数图象,了解函数的零点与方程解的关系。

结合具体连续函数及其图象的特点,了解函数零点存在定理,探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图,能借助计算工具用二分法求方程近似解,了解用二分法求方程近似解具有一般性。

(2)函数与数学模型

理解函数是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具。在实际情境中,会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律。

②结合现实情境中的具体问题,利用计算工具,比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异,理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义。

收集、阅读一些现实生活、生产实际或者经济领域中的数学模型,体会人们是如何借助函数刻画实际问题的,感悟数学模型中参数的现实意义。

【教学提示】

教师应把本主题的内容视为一个整体,引导学生从变量之间依赖关系、实数集合之间的对应关系、函数图象的几何直观等角度整体认识函数概念;通过梳理函数的单调性、周期性、奇偶性(对称性)、最大(小)值等,认识函数的整体性质;经历运用函数解决实际问题的全过程。

函数概念的引入,可以用学生熟悉的例子为背景进行抽象。例如,可以从学生已知的、基于变量关系的函数定义入手,引导学生通过生活或数学中的问题,构建函数的一般概念,体会用对应关系定义函数的必要性,感悟数学抽象的层次。

函数单调性的教学,要引导学生正确地使用符号语言刻画函数最本质的性质———单调性(参见案例5)。在函数定义域、值域以及函数性质的教学过程中,应避免编制偏题、怪题,避免繁琐的技巧训练。

指数函数的教学,应关注指数函数的运算法则和变化规律,引导学生经历从整数指数到有理指数幂、再到实数指数幂的拓展过程,掌握指数函数的运算法则和变化规律。

对数函数的教学,应通过比较同底数的指数函数和对数函数(例如),认识它们互为反函数。

三角函数的教学,应发挥单位圆的作用,引导学生结合实际情境,借助单位圆的直观,探索三角函数的有关性质(参见案例6)。在三角恒等变换的教学中,可以采用不同的方式得到三角恒等变换基本公式;也可以在向量的学习中,引导学生利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式。

函数应用的教学,要引导学生理解如何用函数描述客观世界事物的变化规律,体会幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等函数与现实世界的密切联系(参见案例7)。

鼓励学生运用信息技术学习、探索和解决问题。例如,利用计算器、计算机画出幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的图象,探索、比较它们的变化规律,研究函数的性质,求方程的近似解等(参见案例8)。

可以组织学生收集、阅读函数的形成与发展的历史资料,结合内容撰写报告,论述函数发展的过程、重要结果、主要人物、关键事件及其对人类文明的贡献。

【学业要求】

能够从两个变量之间的依赖关系、实数集合之间的对应关系、函数图象的几何直观等多个角度,理解函数的意义与数学表达;理解函数符号表达与抽象定义之间的关联,知道函数抽象概念的意义。

能够理解函数的单调性、最大(小)值,了解函数的奇偶性、周期性;掌握一些基本函数类(一元一次函数、反比例函数、一元二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等)的背景、概念和性质。

能够对简单的实际问题,选择适当的函数构建数学模型,解决问题;能够从函数的观点认识方程,并运用函数的性质求方程的近似解;能够从函数观点认识不等式,并运用函数的性质解不等式。

重点提升数学抽象、数学建模、数学运算、直观想象和逻辑推理素养。

主题三 几何与代数

几何与代数是高中数学课程的主线之一。在必修课程与选择性必修课程中,突出几何直观与代数运算之间的融合,即通过形与数的结合,感悟数学知识之间的关联,加强对数学整体性的理解。

【内容标准】

内容包括:平面向量及其应用、复数、立体几何初步。

1.平面向量及应用

向量理论具有深刻的数学内涵、丰富的物理背景。向量既是代数研究对象,也是几何研究对象,是沟通几何与代数的桥梁。向量是描述直线、曲线、平面、曲面以及高维空间数学问题的基本工具,是进一步学习和研究其他数学领域问题的基础,在解决实际问题中发挥重要作用。本单元的学习,可以帮助学生理解平面向量的几何意义和代数意义;掌握平面向量的概念、运算、向量基本定理以及向量的应用;用向量语言、方法表述和解决现实生活、数学和物理中的问题。

内容包括:向量概念、向量运算、向量基本定理及坐标表示、向量应用。

(1)向量概念

通过对力、速度、位移等的分析,了解平面向量的实际背景,理解平面向量的意义和两个向量相等的含义。

理解平面向量的几何表示和基本要素。

(2)向量运算

借助实例和平面向量的几何表示,掌握平面向量加、减运算及运算规则,理解其几何意义。

通过实例分析,掌握平面向量数乘运算及运算规则,理解其几何意义。理解两个平面向量共线的含义。

了解平面向量的线性运算性质及其几何意义。

通过物理中功等实例,理解平面向量数量积的概念及其物理意义,会计算平面向量的数量积。

通过几何直观,了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义(参见案例9)。

会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。

(3)向量基本定理及坐标表示

理解平面向量基本定理及其意义。

借助平面直角坐标系,掌握平面向量的正交分解及坐标表示。

会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算。

能用坐标表示平面向量的数量积,会表示两个平面向量的夹角。

能用坐标表示平面向量共线、垂直的条件。

(4)向量应用与解三角形

会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题,体会向量在解决数学和实际问题中的作用。

借助向量的运算,探索三角形边长与角度的关系,掌握余弦定理、正弦定理。

能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题。

2.复数

复数是一类重要的运算对象,有广泛的应用。本单元的学习,可以帮助学生通过方程求解,理解引入复数的必要性,了解数系的扩充,掌握复数的表示、运算及其几何意义。

内容包括:复数的概念、复数的运算、*复数的三角表示。

(1)复数的概念

通过方程的解,认识复数。

理解复数的代数表示及其几何意义,理解两个复数相等的含义。

(2)复数的运算

掌握复数代数表示的四则运算,了解复数加、减运算的几何意义。

(3)*复数的三角表示

通过复数的几何意义,了解复数的三角表示,了解复数的代数形式与三角表示之间的关系,了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义。

3.立体几何初步

立体几何研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系。本单元的学习,可以帮助学生以长方体为载体,认识和理解空间点、直线、平面的位置关系;用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定,并对某些结论进行论证;了解一些简单几何体的表面积与体积的计算方法;运用直观感知、操作确认、推理论证、度量计算等认识和探索空间图形的性质,建立空间观念。

内容包括:基本立体图形、基本图形位置关系、几何学的发展。

(1)基本立体图形

利用实物、计算机软件等观察空间图形,认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征,能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构。

知道球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式,能用公式解决简单的实际问题。

能用斜二测法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合)的直观图。

(2)基本图形位置关系

借助长方体,在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上,抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义,了解以下基本事实(基本事实1~4也称公理)和定理。

基本事实1:过不在一条直线上的三个点,有且只有一个平面。

基本事实2:如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内。

基本事实3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

基本事实4:平行于同一条直线的两条直线平行。

定理:如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补。

从上述定义和基本事实出发,借助长方体,通过直观感知,了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直的关系,归纳出以下判定定理,并加以证明。

一条直线与一个平面平行,如果过该直线的平面与此平面相交,那么该直线与交线平行。

两个平面平行,若果另一个平面与这两个平面相交,那么两条交线平行。

垂直于同一个平面的两条直线平行。

两个平面垂直,如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线,那么这条直线与另一个平面垂直。学科+网

从上述定义和基本事实出发,借助长方体,通过直观感知,了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直的关系,归纳出以下性质定理,并加以证明。

若果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行。

如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行。

如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,那么该直线与此平面垂直。

如果一个平面过另一个平面的垂线,那么这两个平面垂直。

能用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题。

(3)*几何学的发展

收集、阅读几何发展的历史资料,撰写小论文,论述几何发展的过程、重要结果、主要人物、关键事件及其对人类文明的贡献。

【教学提示】

在平面向量及其应用的教学活动中,应从力、速度、加速度等实际情境入手,从物理、几何、代数三个角度理解向量的概念与运算法则,引导学生运用类比的方法探索实数运算与向量运算的共性与差异,可以通过力的分解引出向量基本定理,建立基底的概念和向量的坐标表示;可以引导学生运用向量解决一些物理和几何问题。例如,利用向量计算力使物体沿某方向运动所作的功,利用向量解决与平面内两条直线平行或垂直有关的问题等。对于向量的非正交分解只要求学生作一般了解,不必展开。

在复数的教学中,应注重对复数的表示及几何意义的理解,避免繁琐的计算与技巧训练。对于有余力的学生,可以安排一些引申内容,如复数的三角表示等。可以适当地融入数学文化,让学生体会数系扩充过程中理性思维的作用(参见案例10)。

立体几何初步的教学重点是帮助学生逐步形成空间观念,应遵循从整体到局部、从具体到抽象的原则,提供丰富的实物模型或利用计算机软件呈现空间几何体,帮助学生认识空间几何体的结构特征,进一步掌握在平面上表示空间图形的方法和技能。通过对图形的观察和操作,引导学生发现和提出描述基本图形平行、垂直关系的命题,逐步学会用准确的数学语言表达这些命题,直观解释命题的含义和表述证明的思路,并证明其中一些命题,对相应的判定定理只要求直观感知、操作确认,在选择性必修课程中将用向量方法对这些定理加以论证。

可以使用信息技术展示空间图形,为理解和掌握图形几何性质(包括证明)提供直观。教师可以指导和帮助学生选择一些立体几何问题作为数学探究活动的课题(参见案例11)。

可以组织学生收集、阅读几何学发展的历史资料,结合内容撰写报告,论述几何学发展过程中的重要结果、主要人物、关键事件及其对人类文明的贡献。

【学业要求】

能够从多种角度理解向量概念和运算法则,掌握向量基本定理;能够运用向量运算解决简单的几何和物理问题,知道数学运算与逻辑推理的关系。

能够理解复数的概念,掌握复数代数表示式的四则运算。

能够通过直观图理解空间图形,掌握基本空间图形及其简单组合体的概念和基本特征,解决简单的实际问题。能够运用图形的概念描述图形的基本关系和基本结果。能够证明简单的几何命题(平行、垂直的性质定理),并会进行简单应用。

重点提升直观想象、逻辑推理、数学运算和教学抽象素养。

主题四  概率与统计

概率的研究对象是随机现象,为人们从不确定性的角度认识客观世界提供重要的思维模式和解决问题的方法。统计的研究对象是数据,核心是数据分析。概率为统计的发展提供理论基础。

【内容要求】

内容包括:概率、统计。

1.概率

本单元的学习,可以帮助学生结合具体实例,理解样本点、有限样本空间、随机事件,会计算古典概型中简单随机事件的概率,加深对随机现象的认识和理解。

内容包括:随机事件与概率、随机事件的独立性。

(1)随机事件与概率

①结合具体实例,理解样本点和有限样本空间的含义,理解随机事件与样本点的关系(参见案例12)。了解随机事伴的并、交与互斥的含义,能结合实例进行随机事件的并、交运算。

②结合具体实例,理解古典概型,能计算古典概型中筒单随机事件的概率。

③通过实例,理解概率的性质,掌握随机事件概率的运算法则。

④结合实例,会用频率估计概率。

(2)随机事件的独立性

结合有限样本空间,了解两个随机事件独立性的含义。结合古典概型,利用独立性计算概率。

2.统计

本单元的学习,可以帮助学生进一步学习数据收集和整理的方法、数据直观图表的表示方法、数据统计特征的刻画方法,通过具体实例,感悟在实际生活中进行科学决策的必要性和可能性;体会统计思维与确定性思维的差异、归纳推断与演绎证明的差异;通过实际操作、计算机模拟等活动,积累数据分析的经验。

内容包括:获取数据的基本途径及相关概念、抽样、统计图表、用样本估计总体。

(1)获取数据的基本途径及相关概念

①知道获取数据的基本途径,包括:统计报表和年鉴、社会调查、试验设计、普查和抽样、互联网等。

②了解总体、样本、样本量的概念,了解数据的随机性。

(2)抽样

①简单随机抽样

通过实例,了解简单随机抽样的含义及其解决问题的过程,掌握两种简单随机抽样方法:抽签法和随机数法。会计算样本均值和样本方差,了解样本与总体的关系。

②分层随机抽样

通过实例,了解分层随机抽样的特点和适用范围,了解分层随机抽样的必要性,掌握各层样本量比例分配的方法。结合具体实例,掌握分层随机抽样的样本均值和样本方差(参见案例13)。

③抽样方法的选择

在简单的实际情境中,能根据实际问题的特点,设计恰当的抽样方法解决问题。

(3)统计图表

如根据实际问题的特点,选择恰当的统计图表对数据进行可视化描述,体会合理使用统计图表的重要性。

(4)用样本估计总体

①结合实例,能用样本估计总体的集中趋势参数(平均数、中位数、众数),理解集中趋势参数的统计含义。

⑦结合实例,能用样本估计总体的离散程度参数(标准差、方差、极差),理解离散程度参数的统计含义。

③结合实例,能用样本估计总体的取值规律。

④结合实例,能用样本估计百分位数,理解百分位数的统计含义(参见案例14)。

【教学提示】

在概率的教学中,应引导学生通过日常生活中的实例了解随机事件与概率的意义。在随机事件和样本空间的教学中,应引导学生通过古典概型,认识样本空间,理解随机事件发生的含义;理解古典概型的特征,试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性,知道只有在这种特征下,才能定义出古典概型中随机事件发生的概率。教学中要适当介绍基本计数方法(如树状图、列表等),计算古典概率中随机事件发生的概率。

在统计的教学中,应引导学生根据实际问题的需求,选择不同的抽样方法获取数据,理解数据蕴含的信息,根据数据分析的需求,选择适当的统计图表描述和表达数据,并从样本数据中提取需要的数字特征,估计总体的统计规律,解决相应的实际问题.对统计中的基本概念(如总体、样本、样本量等),应结合具体问题进行描述性说明,在此基础上适当引入严格的定义,并利用数字特征(平均值、方差等)和数据直观图表(直方图、散点图等)进行数据据分析。

统计学的教学活动应通过典型案例进行。教学中应通过对一些典型案例的处理,使学生经历较为系统的数据处理全过程,在此过程中学习数据分析的方法,理解数据分析的思路,运用所学知识和方法解决实际问题。

可以鼓励学生尽可能运用计算器、计算机进行模拟活动,处理数据,更好地体会概率的意义和统计思想。例如,利用计算器产生随机数来模拟掷硬币试验等,利用计算机来计算样本量较大的数据的样本均值、样本方差等。

【学业要求】

能够掌握古典概率的基本特征,根据实际问题构建概率模型,解决简单的实际问题。能够借助古典概型初步认识有限样本空间、随机事件,以及随机事件的概率。

能够根据实际问题的需求,选择恰当的抽样方法获取样本数据,并从中提取需要的数字特征推断总体,能够正确运用数据分析的方法解决简单的实际问题。

能够区别统计思维与确定性思维的差异、归纳推断与演绎证明的差异。能够结合具体问题,理解统计推断结果的或然性,正确运用统计结果解释实际问题。

重点提升数据分析、数学建模、逻辑推理和数学运算素养。

主题五  数学建模活动与数学探究活动

【内容要求】

数学建模活动是对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的过程。主要包括:在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题,分析问题、构建模型,确定参数、计算求解,检验结果、改进模型,最终解决实际问题。数学建摸活动是基本数学思维运用模型解决实际问题的一类综合实践活动,是高中阶段数学课程的重要内容。

数学建模活动的基本过程如下:

数学探究活动是围绕某个具体的数学问题,开展自主探究、合作研究并最终解决问题的过程。具体表现为:发现和提出有意义的数学问题,猜测合理的数学结论,提出解决问题的思路和方案,通过自主探索、合作研究论证数学结论。数学探究活动是运用数学知识解决数学问题的一类综合实践活动,也是高中阶段数学课程的重要内容。

数学建模活动与数学探究活动以课题研究的形式开展,在必修课程中,要求学生完成其中的一个课题研究.

【教学提示】

课题可以由教师给定,也可以由学生与教师协商确定,课题研究的过程包括选题、开题,做题、结题四个环节。学生需要撰写开题报告,教师要组织开展开题交流活动,开题报告应包括选题意义、文献综述、解决问题思路、研究计划、预期结果等。做题是解决问题的过程,包括描述问题、教学表达、建立模型、求解模型、得到结论、反思完善等。结题包括撰写研究报告和报告研究结果,由教师组织学生开展结题答辩。根据选题的内容,报告可以采用专题作业、测量报告、算法程序、制作的实物、研究报告或小论文等多种形式(参见案例15)

    在数学建模活动与数学探究活动中,鼓励学生使用信息技术。

【学业要求】

经历数学建模活动与数学探究活动的全过程,整理资料,撰写研究报告或小论文,并进行报告、交流。对于研究报告或小论文的评价,教师应组织评价小组,可以邀请校外专家、社会人士、家长等参与评价,也可以组织学生互评。教师要引导学生遵循学术规范,坚守诚信底线。研究报告或小论文及其评价应存入学生个人学习档案,为大学招生提供参考和依据。学生可以采取独立完成或者小组合作(2~3人为宜)的方式,完成课题研究(参见案例19)。

重点提升数学建模、数学抽象、数据分析、数学运算、逻辑推理和直观形象素养。

(二)选择性必修课程

选择性必修课程包括四个主题,分别是函数、几何与代数、概率与统计、数学建模活动与数学探究活动。数学文化融入课程内容。

选择性必修课程共6学分108课时,表2给出了课时分配建议,教材编写、教学实施时可以根据实际作适当调整。

表2选择性必修课程课时分配表

主题

单元

建议课时

主题一

函数

数列

30

一元函数导数及其应用

主题二

几何与代数

空间向量与立体几何

44

平面解析几何

主题三

概率与统计

计数原理

26

概率

统计

主题四

数学建模活动

与数学探究活动

数学建模活动

与数学探究活动

4

机动

4

主题一   函数

在必修课程中,学生学习了函策的概念和性质,总结了研究函数的整本方法,掌握了一些具体的基本函数类,探索了函数的应用。在本主题中,学生将学习数列和一元函数导数及其应用。数列是一类特殊的函数,是数学重要的研究对象,是研究其他类型函数的基本工具,在日常生活中也有着广泛的应用。导数是微积分的核心内容之一,是现代数学的基本概念,蕴含微积分的基本思想,导数定量地刻画了函数的局部变化,是研究函数性质的基本工具。

【内容要求】

内容包括:数列、一元函数导数及其应用。

1.数列

本单元的学习,可以帮助学生通过对日常生活中实际问题的分析,了解数列的概念;探索并掌握等差数列和等比数列的变化规律,建立通项公式和前n项和公式:能运用等差数列、等比数列解决简单的实际问题和数学问题,感受数学模型的现实意义与应用;了解等差数列与一元一次函数、等比数列与指数函数的联系,感受数列与函数的共性与差异,体会数学的整体性。

内容包括,数列概念、等差数列、等比数列、*数学归纳法。

(1)数列概念

通过日常生活和数学中的实例,了解数列的概念和表示方法(列表、图象、通项公式),了解数列是一种特殊函数。

(2)等差数列

通过生活中的实例,理解等差数列的概念和通项公式的意义。

探索并掌握等差数列的前n项和公式,理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系。

能在具体的问题情填中,发现数列的等差关系,并解决相应的问题。

体会等差数列与一元一次函数的关系。

(3)等比数列

通过生活中的实例,理解等比数列的概念和通项公式的意义。

探索并掌握等比数列的前n项和公式,理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系。

能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,并解决相应的问题。

体会等比数列与指数函数的关系。

(4)*数学归纳法

了解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题。

2.一元函数导数及其应用

本单元的学习,可以帮助学生通过丰富的实际背景理解导数的概念,希握导数的基本运算,运用导数研究函数的性质,并解决一些实际问题。

内容包括:导数概念及其意义、导数运算、导数在研究函数中的应用、*微积分的创立与发展。

(1)导数概念及其意义

通过实例分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解导数概念的实际背景,知道导数是关于瞬时变化率的数学表达,体会导数的内涵与思想。

体会极限思想。

通过函数图象直观理解导数的几何意义。

(2)导数运算

能根据导数定义求函数y=cy=xy=x2y=x3y=y=的导数。

能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则,求简单函数的导数;能求简单的复合函数(限于形如fax+b))的导数。

会使用导数公式表。

(3)导数在研究函数中的应用

结合实例,借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系,能利用导数研究函数的单调性;对于多项式函数,能求不超过三次的多项式函数的单调区间。

借助函数的图象,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值,体会导数与单调性、极值、最大(小)值的关系。

(4)*微积分的创立与发展
收集、阅读对最积分的创立和发展起重大作用的有关资料,包括一些量要历史人物(牛顿、莱布尼茨、柯西、魏尔斯特拉斯等)和事件,采取独立完成或者小组合作的方式。完成一篇有关微积分创立与发展的研究报告。

【教学提示】

在数列的教学中,应引导学生通过具体实例(如购房贷款、放射性物质的衰变、人口增长等),理解等差数列、等比数列的概念、性质和应用,引导学生掌握数列中各个量之间的基本关系。应特别强调数列作为一类特殊的函数在解决实际问题中的作用,突出等差数列、等比数列的本质,引导学生通过类比的方法探索等差数列与一元一次函数、等比数列与指数函数的联系,加深对数列及函数概念的理解。

在教学中可以组织学生收集、阅读数列方面的研究成果,特别是我国古代的优秀研究成果,如“杨辉三角”、《四元玉鉴》等,撰写小论文,论述数列发展的过程、重要结果、主要人物、关键事件及其对人类文明的贡献,感悟我国古代数学的辉煌成就。

在一元函数导数及其应用的教学中,应通过丰富的实际背景和具体实例引入导数的概念,例如斜率、增长率、膨胀率、效率、密度、速度、加速度等,应引导学生经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解导数是如何刻画瞬时变化率的,感悟极限的思想;应引导学生通过具体实例感受导数在研究函数和解决实际问题中的作用,体会导数的意义。学生对导数概念的理解不可能一步到位,导数概念的学习应该贯穿在一元函数导数及其应用学习的始终。一般地,在高中阶段研究与导数有关的问题中,涉及的函数部是可导函数。

在教学中可以组织学生收集、阅读微积分创立与发展的历史资料,撰写小论文,论述微积分创立与发展的过程、重要结果、主要人物、关键事件及其对人类文明的贡献。

【学业要求】

能够结合具体实例,理解通项公式对于数列的重要性,知道通项公式是这类函数的解析表达式;通过等差数列和等比数列的研究,感悟数列是可以用来刻画现实世界中一类具有递推规律事物的数学模型。掌握通项公式与前n项和公式的关系;能够运用数列解决筒单的实际问题。

能够通过具体情境,直观理解导数概念,感悟极限思想,知道极限思都是人类深刻认识和表达现实世界必备的思维品质。理解导数是一种借助极限的运算,掌握导数的基本运算规则,能求筒单函数和简单复合函数的导数。能够运用导数研究简单函数的性质和变化规律,能够利用导数解决简单的实际问题。知道微积分创立过程,以及微积分对数学发展的作用。

重点提升数学抽象、数学运算、直观想象、数学建模和逻辑推理素养。

主题二   几何与代数

在必修课程学习平面向量的基础上,本主题将学习空间向量,并运用空间向量研究立体几何中图形的位置关系和度量关系。解析几何是数学发展过程中的标志性成果,是微积分创立的基础。本主题将学习平面解析几何,通过建立坐标系,借助直线、圆与圆锥曲线的几何特征,导出相应方程;用代数方法研究它们的几何性质,体现形与数的结合。

【内容要求】

内容包括:空间向量与立体几有、平面解析几何。

1.空间向量与立体几何

本单元的学习,可以帮助学生在学习平面向量的基础上,利用类比的方法理解空间向量的概念、运算、基本定理和应用,体会平面向量和空间向量的共性和差异,运用向量的方法研究空间基本图形的位置关系和度量关系,体会向量方法和综合几何方法的共性和差异,运用向量方法解决筒单的数学问题和实际问题,感悟向量是研究几何问题的有效工具。

内容包括:空间直角坐标系、空间向量及其运算、向量基本定理及坐标表示、空间向量的应用。

(1)空间直角坐标系

在平面直角坐标系的基础上,了解空间直角坐标系,感受建立空间直角坐标系的必要性,会用空间直角坐标系刻画点的位置。

借助特殊长方体(所有被分别与坐标轴平行)顶点的坐标。

探索并得出空间两点间的距离公式。

(2)空间向量及其运算

经历由平面向量推广到空间向量的过程,了解空间向量的概念。

经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程。

(3)向量基本定理及坐标表示

了解空间向量基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。

掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。

掌握空间向量的数量积及其坐标表示。

了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义(参见案例9)。

(4)空间向量的应用

能用向量语言指述直线和平面,理解直线的方向向量与平面的法向量。

能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角以及垂直与平行关系。

能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面位置关系的判定定理。

能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题(参见案例16)和简单夹角问题,并能描述解决这一类问题的程序,体会向量方法在研究几何问题中的作用。

2.平面解析几何

本单元的学习,可以帮助学生在平面直角坐标系中,认识直线、围、椭圆、抛物线、双曲线的几何特征,建立它们的标准方程;运用代数方法进一步认识圆锥曲线的性质以及它们的位置关系,运用平面解析几何方法解决简单的数学问题和实际问题,感悟平面解析几何中蕴含的数学思想。

内容包括:直线与方程、圆与方程、圆锥曲线与方程、平面解析几何的形成与发展。

(1)直线与方程

在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素。

理解直线的倾斜角和斜率的概念,经历用代数方法刻画直线斜率的过程,掌握过两点的直线斜率的计算公式。

能根据斜率判定两条直线平行或垂直。

根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)。

能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标。

探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离。

(2)圆与方程

回顾确定圆的几何要素,在平面直角坐标系中,探索并掌握圆的标准方程与一般方程。

能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆、圆与圆的位置关系。

能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题。

(3)圆锥曲线与方程

了解圆锥曲线的实际背景,感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。

经历从具体情境中抽象出椭圆的过程,掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质。

了解抛物线与双曲线的定义、几何图形和标准方程,以及它们的简单几何性质。

通过圆锥曲线与方程的学习,进一步体会数形结合的思想。

了解椭圆、抛物线的简单应用。

(4)*平面解析几何的形成与发展

收集、阅读平面解析几何的形成与发展的历史资料,撰写小论文、论述平面解析几何发展的过程、重要结果、主要人物、关键事件及其对人类文明的贡献。

【教学提示】

本主题的研究对象是几何图形,所用的研究方法主要是代数方法。

在空间向量与立体几何的教学中,应重视以下两方面;第一,引导学生运用类比的方法,经历向量及其运算由平面向空间的推广过程,探素空间向量与平面向量的共性和差异,引发学生思考维数增加所带来的影响:第二,鼓励学生灵活选择运用向量方法与综合几何方法,从不同角度解决立体几何问题(如距离间题),通过对比体会向量方法的优势。在上述过程中,引导学生理解向量基本定理的本质,感悟“基”的思想,并运用它解决立体几何中的问题。

在平面解析几何的教学中,应引导学生经历以下过程:首先,通过实例了解几何图形的背景,例如,通过行星运行轨道、抛物运动轨迹等,使学生了解圆锥曲线的背景与应用;进而,结合情境清晰地描述图形的几何特征与问题,例如,两点决定一条直线,椭圆是到两个定点的距离之和为定长的动点的轨迹等,再结合具体问题合理地建立坐标系,用代数语言描述这些特征与问题;最后,借助几何图形的特点,形成解决问题的思路,通过直观想象和代数运算得到结果,并给出几何解释,解决问题。

应充分发挥信息技术的作用,通过计算机软件向学生演示方程中参数的变化对方程所表示的曲线的影响,使学生进一步理解曲线与方程的关系。在教学中,可以组织学生收集、阅读平面解析几何的形成与发展的历史资料,撰写小论文,论述平面解析几何发展的过程、重要结果、主要人物、关键事件及其对人类文明的贡献。

【学业要求】

能够理解空间向量的概念、运算、背景和作用;能够依托空间向量建立空间图形及图形关系的想象力;能够掌握空间向量基本定理,体会其作用,并能简单应用;能够运用空间向量解决一些简单的实际问题,体会用向量解决一类问题的想路。

能够掌握平面解析几何解决问题的基本过程:根据具体问题情境的特点,建立平面直角坐标系;根据几何问题和图形的特点,用代数语言把几何问题转化成为代数问题;根据对几何问题(图形)的分析,探索解决问题的思路,运用代数方法得到结论,给出代数结论合理的几何解释,解决几何问题。

能够根据不同的情境,建立平面直线和圆的方程,建立椭圆、抛物线、双曲线的标准方程,能够运用代数的方法研究上述曲线之间的基本关系,能够运用平面解析几何的思想解决一些简单的实际问题。

重点提升直观想象、数学运算、数学建模、逻辑推理和数学抽象素养。

主题三 概率与统计

本主题是必修课程中概率与统计内容的延续,将学习计数原理、概率、统计的相关知识。计数原理的内容包括两个基本计数原理、排列与组合、二项式定理。概率的内容包括随机事件的条件概率、离散型随机变量及其分布列、正态分布。统计的内容包括成对数据的统计相关性、一元线性回归模型、2×2列联表。

【内容要求】

内容包括:计数原理、概率、统计。

1.计数原理

分类加法计数原理和分步乘法计数原理是解决计数问题的基础,称为基本计数原理。本单元的学习,可以帮助学生理解两个基本计数原理,运用计数原理探索排列、组合、二项式定理等问题。

内容包括:两个基本计数原理、排列与组合、二项式定理。

(1)两个基本计数原理

通过实例,了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义。

(2)排列与组合

通过实例,理解排列、组合的概念,能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式。

(3)二项式定理

能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理(参见案例17,18),会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。

2.概率

本单元的学习,可以帮助学生了解条件概率及其与独立性的关系,能进行简单计算;感悟离散型随机变量及其分布列的含义,知道可以通过随机变量更好地刻画随机现象;理解伯努利试验,掌握二项分布,了解超几何分布;感悟服从正态分布的随机变量,知道连续型随机变量;基于随机变量及其分布解决简单的实际问题。

内容包括,随机事件的条件概率、离散型随机变量及其分布列、正态分布。

(1)随机事件的条件概率

结合古典概型,了解条件概率,能计算简单随机事件的条件概率。

结合古典概型,了解条件概率与独立性的关系。

结合古典概型,会利用乘法公式计算概率。

结合古典概型,会利用全概率公式计算概率。*了解贝叶斯公式。

(2)离散型随机变量及其分布列

通过具体实例,了解离散型随机变量的概念,理解离散型随机变量分布列及其数字特征(均值、方差)。

通过具体实例,了解伯努利试验,掌握二项分布及其数字特征,并能解决简单的实际问题。

通过具体实例,了解超几何分布及其均值,并能解决简单的实际问题。

(3)正态分布

通过误差模型,了解服从正态分布的随机变量。通过具体实例、借助频率直方图的几何直观,了解正态分布的特征。

了解正态分布的均值、方差及其含义。

3.统计

本单元的学习,可以帮助学生了解样本相关系数的统计含义,了解一元线性回归模型和2×2列联表,运用这些方法解决简单的实际问题。会利用统计软件进行数据分析。

内容包括:成对数据的统计相关性、一元线性回归模型、2×2列联表。

(1)成对数据的统计相关性

结合实例,了解样本相关系数的统计含义,了解样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系。

结合实例,会通过相关系数比较多组成对数据的相关性。

(2)一元线性回归模型

结合具体实例,了解一元线性回归模型的含义,了解模型参数的统计意义,了解最小二乘原理,掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法,会使用相关的统计软件。

针对实际问题,会用一元线性回归模型进行预测。

(3)2×2列联表

通过实例,理解2×2列联表的统计意义。

通过实例,了解2×2列联表独立性检验及其应用。

【教学提示】

教师应通过典型案例开展教学活动,案例的情境应是丰富的、有趣的、学生熟悉的。在案例教学中要重视过程,层次清楚,从具体到抽象,从实际到理论。

在计数原理的教学中,应结合具体情境,引导学生理解许多计数问题可以归结为分类和分步两类问题,引导学生根据计数原理分析问题、解决问题。

在概率的教学中,应引导学生通过具体实例,理解可以用随机变量更好地刻画随机现象,感悟随机变量与随机事件的关系;理解随机事件独立性与条件概率之间的关系;通过二项分布、超几何分布、正态分布的学习,理解随机变量及其分布。在教学过程中,应在引导学生利用所学知识解决一些实际问题的基础上,适当进行严格、准确的描述。

在统计的教学中,应通过具体案例,引导学生理解两个随机变量的相关性可以通过成对样本数据进行分析;理解利用一元线性回归模型可以研究变量之间的随机关系,进行预测;理解利用2×2列联表可以检验两个随机变量的独立性。在教学过程中,应通过具体案例引导学生参与数据分析的全过程,并鼓励学生使用相应的统计软件。

【学业要求】

能够结合具体实例,识别和理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理及其作用,并能够运用这些原理解决简单的实际问题。

能够结合具体实例,理解排列、组合、二项式定理与两个计数原理的关系,能够运用两个计数原理推导排列、组合、二项式定理的相关公式,并能够运用它们解决简单的实际问题,特别是概率中的某些问题。

能够结合具体实例,理解随机事件的独立性和条件概率的关系,理解离散型随机变量在描述随机现象中的作用,掌握两个基本概率模型及其应用,了解正态分布的作用,进一步深入理解随机思想在解决实际问题中的作用。

能够解决成对数据统计相关性的简单实际问题。能够结合具体实例,掌握运用一元线性回归分析的方法。掌握运用2×2列联表的方法,解决独立性检验的简单实际问题。

重点提升数据分标、数学建模、逻辑推理、数学运算和数学抽象素养。

主题四 数学建模活动与数学探究活动

【内容要求】

数学建模活动与数学探究活动以课题研究的形式开展。在选择性必修课程中,要求学生完成一个课题研究,可以是数学建模的课题研究,也可以是数学探究的课题研究。课题可以是学生在学习必修课程时已完成课题的延续,或者是新的课题。

【教学提示】

选题可以在教师的指导下,自主选题,也可以在必修课程中数学建模活动或数学探究活动的研究基础上继续进行深入探究。类似必修课程的要求,课题研究应经历选题、开题、做题、结题四个环节。如果选题不变,需要在研究报告中说明与必修课程中研究的差异,深入研究的新思路、新方法,得到的新结果。根据选题的内容,报告可以采用专题作业、测量报告、算法程序、制作的实物或研究论文等多种形式。

【学业要求】

参考必修课程的主题五。

(三)选修课程

选修课程是由学校根据自身情况选择设置的课程,供学生依据个人志趣自主选择,分为A,B,C,D,E五类。

这些课程为学生确定发展方向提供引导,为学生展示数学才能提供平台,为学生发展数学兴趣提供选择,为大学自主招生提供参考。学生可以根据自己的志向和大学专业的要求选择学习其中的某些课程。

A类课程是供有志于学习数理类(如数学、物理、计算机、精密仪器等)学生选择的课程。

B类课程是供有志于学习经济、社会类(如数理经济、社会学等)和部分理工类(如化学、生物、机械等)学生可以选择的课程。

C类课程是供有志于学习人文类(如语言、历史等)学生选择的课程。

D类课程是供有志于学习体育、艺术(包括音乐、美术)类学生选择的课程。

类课程包括拓展视好、日常生活、地方特色的数学课程,还包括大学数学的先修课程等。大学数学先修课程包括: 微积分、解析几何与线性代数、概率论与数理统计。

数学建模活动、数学探究活动、数学文化融入课程内容。

选修课程的修习情况应列为综合素质评价的内容。不同高等院校、不同专业的招生,根据需要可以对选修课程中某些内容提出要求。国家、地方政府、社会权威机构可以组织命题考试。考试成绩应存入学生个人学习档案,供高等院校自主招生参考。

A类课程

A类课程包括微积分、空间向量与代数、概率与统计三个专题,其中微积分2.5学分,空间向量与代数2学分,概率与统计1.5学分。

微积分

本专题在数列极限的基础上建立函数极限和连续的概念;在具体的情境中用极限刻画导数,给出借助导数研究函数性质的一般方法;通过极限建立微分和积分的概念,阐述微分和积分的关系(微积分基本定理)及其应用。本专题要考虑高中学生的接受能力,重视课程内容的实际背景,关注数学内容的直观理解,培养学生的数学抽象、数学运算、数学建模和逻辑推理素养,为进一步学习大学数学课程奠定基础。

内容包括:数列极限、函数极限、连续函数、导数与微分、定积分。

1.数列极限

(1)通过典型收敛数列的极限过程(当时,),建立并理解数列极限的定义。

(2)探索并证明基本性质:收敛数列是有界数列。

(3)通过典型单调有界数列的收敛过程,理解基本事实:单调有界数列必有极限。

(4)掌握数列极限的四则运算法则。

(5)通过典型数列的收敛性,理解e的意义。

2.函数极限

(1)通过典型函数的极限过程(当时,;当时,;当时,,且),理解函数极限的ε-δ定义。

(2)掌握基本初等函数极限的四则运算。

(3)掌握两个重要函数极限:,并会求其简单变形的极限。

3.连续函数

(1)理解连续函数的定义。

(2)了解闭区间上连续函数的有界性、介值性及其简单应用(例如,用二分法求方程近似解)。

4.导数与微分

(1)借助物理背景与几何背景理解导数的意义,并能给出导数的严格数学定义。

(2)通过导函数的概念,掌握二阶导数的概念,了解二阶导数的物理意义与几何意义。

(3)了解复合函数的求导公式。

(4)理解并证明拉格朗日中值定理,并能用其讨论函数的单调性。

(5)会利用拉格朗日中值定理,证明一些函数不等式(例如,当时,有)。

(6)会利用导数讨论函数的极值问题,利用几何图形说明一个点是极值点的必要条件与充分条件(不要求数学证明)。

(7)了解微分的概念及其实际意义,并会用符号表示。

5.定积分

(1)通过等分区间求特殊曲边梯形面积的极限过程,理解定积分的概念及其几何意义与物理意义。

(2)在单调函数定积分的计算过程中,通过微分感悟积分与导数的关系,理解并掌握牛顿-莱布尼茨公式

(3)会利用导数表和牛顿-莱布尼茨公式,求一些简单函数的定积分。

(4)会利用定积分计算某些封闭图形的面积,计算球、圆锥、圆台和某些三棱锥、三棱台的体积;能利用定积分解决简单的作功问题和重心问题。

空间向量与代数

本专题在必修课程和选择性必修课程的基础上,通过系统学习三维空间的向量代数,表述各种运算的几何背景,实现几何与代数的融合。引入矩阵与行列式的概念,利用矩阵理论解三元一次方程组;利用向量代数,讨论三维空间中点、直线、平面的位置关系与度量;利用直观想象建立平面和空间的等距变换理论。将空间几何与线性代数融合在一起,把握问题的本质,为代数理论提供几何背景,用代数方法解决几何问题,进而解决实际问题,为大学线性代数课程的学习奠定直观基础。

内容包括:空间向量代数、三阶矩阵与行列式、三元一次方程组、空间中的平面与直线、等距变换。

1.空间向量代数

(1)通过几何直观,理解向量运算的几何意义。

(2)探索并解释空间向量的内积与外积及其几何意义。

(3)理解向量的投影与分解及其几何意义,并会应用。

(4)掌握向量组的线性相关性,并能加以判断。

(5)掌握向量的线性运算,理解向量空间与子空间的概念。

2.三阶矩阵与行列式

(1)通过几何直观引入矩阵概念,掌握矩阵的三种基本运算及其性质。

(2)了解正交矩阵及其基本性质,能用代数方法解决几何问题。

(3)掌握行列式定义与性质,会计算行列式。

3.三元一次方程组

(1)通过实例,探索三元一次方程组的求解过程,理解三元一次方程组的常用解法(高斯消元法),会用矩阵表示三元一次方程组。

(2)掌握三元齐次线性方程组的解法,会表示一般解。

(3)掌握非齐次线性方程组有解的判定,建立线性方程组的理论基础。

(4)探索三元一次方程组解的结构,会表示一般解。

(5)理解克拉默(Cramer)法则,会用克拉默法则求解三元一次方程组。

4.空间中的平面与直线

(1)通过向量的坐标表示,建立空间平面的方程。

(2)掌握空间直线方程的含义,会用方程表示空间直线。

(3)理解空间点、直线、平面的位置关系,会用代数方法判断空间点、直线、平面的位置关系,会求点到直线(平面)的距离。

5.等距变换

(1)了解平面变换的含义,理解平面的等距变换,特别是三种基本等距变换:直线反射、平移、旋转。

(2)了解平面对称图形及变换群概念。

(3)掌握常见平面等距变换及其矩阵表示。

(4)了解空间变换的含义,理解空间的等距变换,特别是三种常见等距变换:平面反射、平移、旋转。

(5)了解空间对称图形及变换群。

(6)掌握常见空间等距变换及其矩阵表示。

概率与统计

本专题在必修课程和选择性必修课程的基础上展开。在概率方面,通过具体实例,进一步学习连续型随机变量及其概率分布,二维随机向量及其联合分布,并运用这些数学模型,解决一些简单的实际问题。在统计方面,结合一些具体任务,学习参数估计、假设检验,并运用这些方法解决一些简单的实际问题;在一元线性回归分析的基础上,结合具体实例,进一步学习二元线性回归分析的方法,解决一些简单的实际问题。在教学活动中,要重视课程内容的实际背景,关注学生对数学内容的直观理解;要充分考虑高中学生接受能力,更要注重学生数学学科核心素养的提升。

内容包括:连续型随机变量及其分布、二维随机变量及其联合分布、参数估计、假设检验、二元线性回归模型。

1.连续型随机变量及其分布

(1)借助具体实例,了解连续型随机变量及其分布,体会连续型随机变量与离散型随机变量的共性与差异。

(2)结合生活中的实例,了解几个重要连续型随机变量的分布:均匀分布、正态分布、卡方分布、t-分布,理解这些分布中参数的意义,能进行简单应用。

(3)了解连续型随机变量的均值和方差,知道均匀分布、正态分布、卡方分布、t-分布的均值和方差及其意义。

2.二维随机变量及其联合分布

(1)在学习一维离散型随机变量的基础上,通过实例,了解二维离散型随机变量概念及其分布列、数字特征(均值、方差、协方差、相关系数),并能解决简单的实际问题。了解两个随机变量的独立性。

(2)在学习一维正态随机变量的基础上,通过具体实例,了解二维正态随机变量及其联合分布,以及联合分布中参数的统计含义。

3.参数估计

借助对具体实际问题的分析,知道矩估计和极大似然估计这两种参数估计方法,了解参数估计原理,能解决一些简单的实际问题。

4.假设检验

(1)了解假设检验的统计思想和基本概念。

(2)借助具体实例,了解正态总体均值和方差检验的方法,了解两个正态总体的均值比较的方法。

(3)结合具体实例,了解总体分布的拟合优度检验。

5.二元线性回归模型

(1)了解二维正态分布及其参数的意义。

(2)了解二元线性回归模型,会用最小二乘原理对模型中的参数进行估计。

(3)运用二元线性回归模型解决简单的实际问题。

B类课程

B类课程包括微积分、空间向量与代数、应用统计、模型四个专题,其中微积分2学分,空间向量与代数1学分,应用统计2学分,模型1学分。

微积分

本专题在数列极限的基础上建立函数极限的概念;在具体的情境中用极限刻画导数,给出借助导数研究函数性质的一般方法;通过极限建立微分和积分的概念,阐述微分和积分的关系(微积分基本定理)及其应用。在学习一元函数的基础上,了解二元函数及其偏导数的概念。本专题要考虑高中学生接受能力,重视课程内容的实际背景,关注数学内容的直观理解,培养学生的运算能力,为进一步学习大学相关课程奠定基础。

内容包括:极限、导数与微分、定积分、二元函数。

1.极限

(1)通过典型数列,了解数列的极限,掌握极限的符号,了解基本事实:单调有界数列必有极限。

(2)通过具体函数犳,且,了解函数极限和连续的概念,掌握极限的符号,了解闭区间上连续函数的性质。

2.导数与微分

(1)通过导数概念,理解二阶导数的概念,了解二阶导数的物理意义与几何意义;掌握一些基本初等函数的一阶导数与二阶导数。

(2)理解拉格朗日中值定理,了解它的几何解释。

(3)能利用导数讨论函数的单调性,并证明某些函数不等式(例如,当时,)。

(4)会利用导数讨论函数的极值问题,利用几何图形说明一个点是极值点的必要条件与充分条件(不要求数学证明)。

(5)借助导数,会求闭区间上一元一次函数、一元二次函数、一元三次函数的最大值与最小值。

(6)了解微分的概念及其实际意义,会用符号表示。

3.定积分

(1)了解闭区间上连续函数定积分的概念,理解其几何意义与物理意义。

(2)能用等分区间方法计算特殊的黎曼和。

(3)利用的单调性、等分区间的方法、拉格朗日中值定理,推导牛顿-莱布尼茨公式

(4)会利用定积分计算某些封闭平面图形的面积,计算球、圆锥、圆台和某些三棱锥、三棱台的体积;了解祖暅原理。

4.二元函数

(1)通过简单实例,掌握二元函数的背景。

(2)了解偏导数的定义,能计算一些简单函数的偏导数。例如,已知分别是基本初等函数,会求的偏导数。

(3)会求一些简单二元函数的驻点,并能求相应的实际问题中的极值。

(4)利用等高线法,会求一次函数在闭凸多边形区域上的最大值和最小值。

(5)会求闭圆域、闭椭圆域上二元二次函数的最大值和最小值。

空间向量与代数

本专题在必修课程和选择性选修课程的基础上,比较系统地学习三维空间的整体结构———向量代数,感悟几何与代数的融合。引入矩阵与行列式的概念,并讨论三元一次方程组解的结构。本专题中强调几何直观,把握问题的本质,培养学生数学运算、数学抽象、逻辑推理和直观想象等素养,为大学线性代数课程的学习奠定直观基础。

内容包括:空间向量代数、三阶矩阵和行列式、三元一次方程组。

1.空间向量代数

(1)通过几何直观,理解向量运算的几何意义。

(2)探索并解释空间向量的内积与外积及其几何意义。

(3)理解向量的投影与分解及其几何意义,并会应用。

(4)掌握向量组的线性相关性,并能加以判断。

(5)掌握向量的线性运算,理解(低维)向量空间与子空间的概念。

(6)会求点到直线、点到平面的距离,两条异面直线的距离,直线与平面的夹角。

2.三阶矩阵与行列式

(1)通过几何直观引入矩阵概念,掌握矩阵的三种基本运算及其性质。

(2)掌握行列式定义与性质,会计算行列式。

3.三元一次方程组

(1)通过实例,探索三元一次方程组的求解过程,理解三元一次方程组的常用解法(高斯消元法),会用矩阵表示三元一次方程组。

(2)掌握三元齐次线性方程组的解法,会表示一般解。

(3)掌握非齐次线性方程组有解的判定,建立线性方程组的理论基础。

(4)探索三元一次方程组解的结构,会表示一般解。

(5)理解克拉默(Cramer)法则,会用克拉默法则求解三元一次方程组。

应用统计

本专题在必修课程和选择性必修课程的基础上展开。在概率课程方面,通过具体实例,进一步学习连续型随机变量及其概率分布,二维随机向量及其联合分布,并运用这些数学模型,解决一些简单的实际问题。在统计方面,结合一些具体任务,学习参数估计、假设检验和不依赖于分布的统计检验,并运用这些方法解决一些简单的实际问题;学习数据分析的两种特殊方法——聚类分析和正交设计。在教学活动中,要关注学生对数学内容的直观理解,充分考虑高学生接受能力;要重视课程内容的实际背景,更要重视课程内容的实际应用;要注重全面提升学生数学核心素养。

内容包括:连续型随机变量及其分布、二维随机变量及其联合分布、参数估计、假设检验、二元线性回归模型、聚类分析、正交设计。

1.连续型随机变量及其分布

(1)借助具体实例,了解连续型随机变量及其分布,体会连续型随机变量与离散型随机变量的共性与差异。

(2)结合生活中的实例,了解几个重要连续型随机变量的分布:均匀分布、正态分布、卡方分布、τ-分布,理解这些分布中参数的意义,能进行简单应用。

(3)了解连续型随机变量的均值和方差,知道均匀分布、正态分布、卡方分布、τ-分布的均值和方差及其意义。

2.二维随机变量及其联合分布

(1)在学习一维离散型随机变量的基础上,通过实例,了解二维离散型随机变量概念及其分布列、数字特征(均值、方差、协方差、相关系数),并能解决简单的实际问题。了解两个随机变量的独立性。

(2)在学习一维正态随机变量的基础上,通过具体实例,了解二维正态随机变量及其联合分布,以及联合分布中参数的统计含义。

3.参数估计

借助对具体实际问题的分析,知道矩估计和极大似然估计这两种参数估计方法,了解参数估计原理,能解决一些简单的实际问题。

4.假设检验

(1)了解假设检验的统计思想和基本概念。

(2)借助具体实例,了解正态总体均值和方差检验的方法,了解两个正态总体的均值比较的方法。

(3)结合具体实例,了解总体分布的拟合优度检验。

5.二元线性回归模型

(1)了解假设检验的 统计思想和基本概念。

(2)借助具体实例,了解正态总体均值和方差检验的方法,了解两个正态总体的均值比较的方法。

(3)结合具体实例,了解总体分布的拟合优度检验。

6.聚类分析

(1)借助具体实例,了解聚类分析的意义。

(2)借助具体实例,了解几种聚类分析的方法,能解决一些简单的实际问题。

7.正交设计

(1)借助具体实例,了解正交设计原理。

(2)借助具体实例,了解正交表,能用正交表进行实验设计。

模型

本专题在必修课程和选择性必修课程的基础上,通过大量的实际问题,建立一些基本的数学模型,包括线性模型、二次曲线模型、指数函数模型、三角函数模型、参变数模型。在教学中,要重视这些模型的背景、形成过程、应用范围,提升数学建模、数学抽象、数学运算和直观想象素养,提升应用能力和创新能力。

内容包括:线性模型、二次函数模型、指数函数模型、三角函数模型、参变数模型。

1.线性模型

(1)结合实际问题,了解一维线性模型,理解一次函数与均匀变化的关系,并能发现生活中均匀变化的实际问题。

(2)结合实际问题,了解二维线性模型,探索平面上一些图形的变化,并能理解一维线性模型与二维线性模型的异同(例如,矩阵A是对角矩阵)。

(3)结合实际问题,了解三维线性模型,如经济学上的投入产出模型。

2.二次函数模型

借助实例(如光学模型、自由落体、边际效应),了解二次曲线模型的含义和特征,体会二次曲线模型的实际意义。

3.指数函数模型

借助有关増长率的实际问题(如种群增长、放射物衰减),理解指数函数模型,感受增长率是常数的事物的单调变化。

4.三角函数模型

借助具体实例,理解一类波动问题(如光波、声波、电磁波)等周期现象可以用三角函数来刻画。

5.参变数模型

(1)借助具体实例,理解平面上的参变数模型,如弹道模型。

(2)借助具体实例,理解空间上的参变数模型,如螺旋曲线。

(3)借助一些用参变数方程描述的物理问题与几何问题,理解参变数的意义,掌握参变数变化的范围。

C类课程

C课程包括逻辑推理初步、数学模型、社会调查与数据分析三个专题,每个专题2学分。

逻辑推理初步

本专题内容以数学推理为主线展开,将相关逻辑知识与数学推理有机融合。通过本专题的学习,能进一步认识逻辑推理的本质,体会其在数学推理、论证中的作用;能运用相关逻辑知识正确表述自己的思想、解释社会生活中的现象,提高逻辑思维能力,发展逻辑推理素养。

内容包括:数学定义、命题和推理,数学推理的前提,数学推理的类型,数学证明的主要方法,公理化思想。

1.数学定义、命题和推理

通过实例,了解数学定义和数学命题,知道数学定义的基本方式,了解数学命题的表达形式,了解数学定义、数学命题和数学推理之间的关系。能理解数学命题中的条件和结论;结合实例,能对充分条件、必要条件、充要条件进行判断。

2.数学推理的前提

理解同一律、矛盾律、排中律的含义,通过实例认识它们在数学推理中的作用,能在数学推理中认识推理前提的重要性。能通过实例,区分排中律与矛盾律,能在推理中正确运用排中律。

3.数学推理的类型

结合学过的数学实例和生活中的实例,理解演绎推理、归纳和类比推理,在这些推理的过程中,认识数学推理的传递性。知道利用推理能够得到和验证数学的结果。通过数学和生活中的实例,认识或然性推理和必然性推理的区别。

4.数学证明的主要方法

通过数学实例,认识一些常用的数学证明方法,理解这些证明方法在数学和生活中的意义。

5.公理化思想

通过数学史和其他领域的典型事例,了解数学公理化的含义,了解公理体系的独立性、相容性、完备性,了解公理化思想的意义和价值。

数学模型

本专题在必修课程和选择性必修课程的基础上,通过具体实例,建立一些基于数学表达的经济模型和社会模型,包括存款贷款模型、投入产出模型、经济增长模型、凯恩斯模型、生产函数模型、等级评价模型、人口増长模型、信度评价模型等。在教学活动中,要让学生知道这些模型形成的背景、数学表达的道理、模型参数的意义、模型适用的范围,提升数学建模、数学抽象、数学运算和直观想象素养;知道其中的有些模型(以及模型的衍生)获得诺贝尔经济学奖的理由,理解数学的应用,提高学习数学的兴趣,提升实践能力和创新能力。

内容包括:经济数学模型、社会数学模型。

1.经济数学模型

(1)存款贷款模型(指数函数模型)

通过对存款等实际问题的分析,抽象出复利模型;通过对住房贷款等实际问题的分析,抽象出等额本金付款模型。了解这些模型各自的特点,能用该样的模型解决简单的实际问题。

(2)投入产出模型(线性方程组模型)

了解投入产出模型的背景和意义,理解模型是如何通过线性方程组中的系数的解约束自变量、从而实现组合生产的计划,能用投入产出模型分析并解决简单的实际问题。

(3)经济增长模型(线性回归模型)

利用我国改革开放以后经济发展数据,通过实践与GDP(或者人均GDP)之间的关系建立线性回归模型(或者分段的线性回归模型),估计其中的参数,理解参数的意义。能用同样的方法分析简单的经济现象。

(4)凯恩斯模型(经济理论模型)

了解如何通过收入、消费和投资之间的关系建立数学模型,体会模型中系数的乘数效应,体会扩大消费与经济发展、增加国民收入之间的关系,能用模型解释简单的经济现象。

(5)生产函数模型(对数线性模型)

了解生产理论中柯布-道格拉斯(Cobb-Douglas)生产函数,知道如何用数学语言表达生产与劳动投入、资本投入之间的关系,知道如何把这样的表达转化为对数线性模型、如何对其中的参数进行估计,能解决简单的实际问题。

2.社会数学模型

(1)等级评价模型(平均数模型)

结合具体实例(如产品质量评价、热点问题筛选、跳水等技能或全能等综合性体育运动评分),了解加权平均、调和平均、稳健平均等评价模型的特点及适用范围,能用这样的模型解决简单实际问题。

(2)人口增长模型(指数函数模型)

结合实例(如我国人口增长数据),了解为什么可以用指数增长模型刻画人口变化的规律,知道模型中参数的意义,知道如何用模型拟合实际数据,并能判断拟合的有效性。学科+网

(3)信度评价模型(Logostic回归模型)

对于银行贷款用户、信用卡用户等涉及信度的问题,知道用Logostic回归模型进行信度评级的道理,知道构造两级(好、差)或者三级(好、中、差)进行评价的方法,并会简单应用。


社会调查与数据分析

社会调查是学生进入社会要掌握的基本能力。本专题在必修课程和选择性必修课程的基础上,结合社会调查的实际问题和在社会调查中的一些关键环节,引导学生经历社会调查的全过程,包括社会调查方案的设计、抽样设计、数据分析、报告的撰写,并结合具体社会调查案例,分析在社会调查实施过程中可能遇到的问题,以及解决这些问题的对策。本专题的基本特点是实用、具体、有效、有趣。在完成社会调查任务的过程中,要注意引导学生充分运用概率与统计知识,避免采用不科学的社会调查方法与数据分析方法,全面提升学生数学学科核心素养。

内容包括:社会调查概论、社会调查方案设计、抽样设计、社会调查数据分析、社会调查数据报告、社会调查案例选讲。

1.社会调查概论

(1)结合实例,了解社会调查的使用范围、分类和意义。

(2)针对具体问题,了解社会调查的基本步骤:项目确定、方案设计、组织实施、数据分析、形成报告。

2.社会调查方案设计

(1)结合实例,了解调查方案设计的基本内容:目的、内容、对象、项目、方式、方法及其他。

(2)结合实例,探索调查方案的可行性评估。

(3)结合实例,了解问卷设计的主要问题:问卷的结构与常用量表、问卷设计的程序与技巧。

(4)结合实例,掌握社会调查基本方法:文案调查法、观察法、访谈法、德尔菲法、电话法等。

3.抽样设计

在必修课程学习的抽样方法(简单随机抽样、分层抽样)的基础上,了解二阶与多阶抽样,能根据具体情境选择合适的抽样方法。

4.社会调查数据分析

(1)结合具体实例,整理调查数据,了解常用统计图表(频数表、交叉表、直方图、茎叶图、扇形图、雷达图、箱线图)及常用统计量(均值、众数、中位数、百分位数),能够确定各种抽样方法的样本量。

(3)结合具体实例,了解相关分析、回归分析、多元统计分析。

5.社会调查数据报告

掌握社会调查报告的基本要求及基本内容,能够做出简单的、完整的社会调查数据报告。

6.社会调查案例选讲

通过典型案例的学习,理解社会调查的意义。

D类课程

D课程包括美与数学、音乐中的数学、美术中的数学、体育运动中的数学四个专题,每个专题1学分。

美与数学

学会审美不仅可以陶冶情操,而且能够改善思维品质。本专题尝试从数学的角度刻画审美的共性,主要包括:简洁、对称、周期、和谐等。通过本课程的学习,学生对美的感受能够从感性走向理性,提升有志于从事艺术、体育事业学生的审美情趣和审美能力,在形象思维的基础上増强理性思维能力。

内容包括:美与数学的简洁、美与数学的对称、美与数学的周期、美与数学的和谐。

1.美与数学的简洁

数学可以刻画现实世界中的简洁美。例如,太阳、满月、车轮、井盖形状等美的共性与圆相关,抛物运动、行星运动轨迹等美的共性与二次曲线相关,DNA结构、向日葵花盘、海螺等美的共性与特殊曲线相关,家具、日用品、冷却塔、建筑物外形等美的共性与简单曲面相关,雪花、云彩、群山、海岸线、某些现代设计等美的共性与分形相关。

2.美与数学的对称

数学可以刻画现实世界中的对称美。例如,某些动物形体、飞机造型、某些建筑物外形等美的共性与空间反射对称相关;剪纸、脸谱、风筝等传统艺术美的共性与轴对称相关;晶体等美的共性与中心对称相关,带饰、面饰等美的共性与平移对称、中心对称、轴对称相关。循环赛制、守恒定律也具有对称美。

3.美与数学的周期

数学可以刻画现实世界中的周期美。例如,昼夜交替、四季循环、日月星辰运动规律、海洋波浪等美的共性与周期相关,乐曲创作、图案设计中美的共性与周期相关。

4.美与数学的和谐

数学可以刻画现实世界中的和谐美。例如,人体结构、建筑物、国旗、绘画、优选法等美的共性与黄金分割相关,苗木生长、动物繁殖、向日葵种子排列规律等美的共性与斐波那契数列相关。

音乐中的数学

音乐的要素——音高、音响、音色、节拍、乐音、乐曲、乐器等都与数学相关,特别是音的律制与数学的关系十分密切。通过本专题的学习,学生能够更加理性地理解音乐,鉴赏音乐的美,可以提升有志于从事音乐事业学生的数学修养,増强理性思维能力。

内容包括:声波与正弦函数,律制、音阶与数列,乐曲的节拍与分数,乐器中的数学,乐曲中的数学等。

1.声波与正弦函数

纯音可以用正弦函数来表达,音高与正弦函数的频率相关,响度与正弦函数的振幅相关,和声、音色与正弦函数的叠加相关。

2.律制、音阶与数列

音的律制用以规定音阶,三分损益律、五度相生律、纯律的音阶均与频率比、弦长比相关,十二平均律与等比数列相关。五线谱能够科学地记录乐曲。

3.乐曲的中拍与分景

乐面的小节、拍、拍号与分数相关。套曲的钢琴演奏与最小公倍数相关。

4.乐器中的数学

键盘乐器(如钢琴)、弦乐器(如小提琴、二胡)、管乐器(如长笛)的发声、共鸣等,都与数学相关。

5.乐曲中的数学

乐曲中的高潮点、乐曲调性的转换点,常与黄金分割相关;乐曲的创作既与平移、反射、伸缩等变换相关,也与排列、组合相关。

美术中的数学

美术主要包括绘画、雕塑、工艺美术、建筑艺术,以及书法、篆刻艺术等。通过本专题的学习,可以帮助学生了解类术中的平移、对称、黄金分割、透视几何等数学方法,了解计算机类术的基本概念和方法,了解美术家在创作过程中所蕴含的数学思想,体会数学在美术中的作用,更加理性地鉴赏美术作品,提升直观想象和数学抽象素养。在教学过程中,应以具体实例为主线展开,将美术作品与相关的数学知识有机联系起来。

内容包括:绘画与数学、其他美术作品中的数学、美术与计算机、美术家的数学思想。

1绘画与

名画中的学元素,绘画中的平移与对称,绘画中的黄金分割,绘画中的透视几何。

2其他美术作品中的

雕塑中的黄金分割,建筑中的对称,工艺品中的对称,邮票中的数学,书法中的黄金分割。

3美术与计算机

计算机绘画的发展背景,计算机绘画所需的硬件和软件,计算机绘画实例。

4美术家的数学思想

达芬奇、毕加索、埃舍尔等的数学思想。

体育运动中的数学

在体育运动中,无论是运动本身还是与运动有关的事都蕴含着许多数学原理。例如,田径运动中的速度、角度、运动曲线,比赛场次安排、运动器械与运动场馆设计等。通过本专题的学习,学生能运用数学知识探索提高运动效率的途径,能运用数学方法合理安排赛事,提升有志于从事体育事业学生的数学修养,增强理性思维能力。

内容包括:运动场上的数学原理、运动成绩的数据分析、运动赛事中的运筹帷幄、体育用具及设施中的数学知识。

1.运动场上的数学原理

了解与田径运动、球类运动、体操运动、水上运动等相关的数学原理,探索如何提高运动效率和运动成绩。例如,根据向量分解的原理指导运动员进行跳高、跳远和投掷。

2.运动成绩的数据分析

通过健康指标和运动成绩的数据,运用概率与统计知识寻求规律、探索合理方案。例如,通过日常运动和健康状况的数据,分析运动与健康的关系。学科网

3.运动赛事中的运筹帷幄

知道能借助图论、运筹等数学知识分析体育赛事的规律,进行合理安排,提升教练员的指择策略,改善运动员赛场上的应对策略。

4.体育用具及设施中的数学知识

知道在大多数体育运动用具和场馆的设计中都运用了数学知识,例如,足球、乒乓球的制作,网球拍的构造,标准跑道的规划;通过数学曲面感悟“鸟集”“水立方”等体育设施的设计原理。

E类课程

E类课程是学校根据自身的需求开发或选用的课程,包括拓展视野、日常生活、地方特色的数学课程,还包括大学数学的先修课程等。

拓展视野的数学课程例如,机器人与数学、对称与群、球面上的几何、欧拉公式与闭曲面分类、数列与差分、初等数论初步。

日常生活的数学课程例如,生活中的数学、家庭理财与数学。

地方特色的数学课程例如,地方建筑与数学、家乡经济发展的社会调查与数据分析。

大学数学的先修课程包括:微积分、解析几何与线性代数、概率论与数理统计。


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